Dynamisches Ersatzmodell für Bauteile

Für den sommerlichen Wärmeschutznachweis muss nach DIN 4108-2 [1] im Sonneneintragsverfahren die Schwere der Bauart bekannt sein. Zur Berechnung der Bauart darf die wirksame Wärmekapazität auch nach DIN EN ISO 13786 [2] für eine Tagesperiode bestimmt werden. In dieser Norm gibt es aber einige Einschränkungen:

In diesem Beitrag soll eine Alternative aufgezeigt werden, für die allerdings auch gilt:

Das SZK-Verfahren für Bauteile

Das Simulationsverfahren mit der Summenzeitkonstante (SZK) wurde bereits in [3] angewendet. Dort wurde aber die Summenzeitkonstante für Aktionen eingesetzt, die sich auf den gesamten Raum beziehen. Inzwischen ist die Erkenntnis gereift, dass man das SZK-Verfahren auf die einzelnen Bauteile eines Raumes ansetzen sollte.

Ausgangspunkt dieser Betrachtung ist daher die Berechnung der raumseitigen Oberflächentemperatur eines Bauteils. Im stationären Fall gilt

T_si = (1 - f_Rsi) ⋅ T_e + f_Rsi ⋅ T_i⇥    (1)

T_si raumseitige Oberflächentemperatur in °C

T_e Außentemperatur in °C

T_i Innentemperatur in °C

f_Rsi dimensionsloser Temperaturfaktor an der Innenoberfläche nach DIN EN ISO 10211 [4]

Der f_Rsi-Wert ist im Zusammenhang mit Wärmebrückenberechnungen bekannt, kann aber auch für ebene Bauteile verwendet werden. Dafür gilt die Gleichung

f_Rsi = 1 - U ⋅ R_si⇥(2)

U Wärmedurchgangskoeffizient in W/(m² K)

R_si Wärmeübergangswiderstand innen in m² K/W

Aus den beiden Faktoren vor der Außen- und Innentemperatur ist zu erkennen, dass es zwei Übertragungsfunktionen mit unterschiedlichen stationären Endwerten geben muss. Für den instationären Fall erhält man im Laplace-Bereich

T_si(s) = G_e(s) ⋅ T_e(s) + G_i(s) ⋅ T_i(s)⇥(3)

G_e(s) Übertragungsfunktion der Aktion Außentemperatur in -

G_i(s) Übertragungsfunktion der Aktion Innentemperatur in -

s Laplace-Operator

mit der Grenzwertforderung bei t  ∞ (entspricht s  0)

lim G_e(s)=1-f_Rsi ; lim G_i(s)=f_Rsi⇥ (4)

s0    s0

zur Sicherstellung des stationären Verhaltens. Damit entspricht auch der Mittelwert von periodischen Vorgängen dem stationären Ergebnis.

Den f_Rsi-Wert für Wärmebrücken kann man den Wärmebrückenkatalogen entnehmen oder mit einem Wärmebrückenprogramm berechnen. Nach DIN 4108-2 [1] muss er seit 2003 für Neubauten mindestens 0,70 für Außenbauteile betragen. Das müsste auch für ebene Bauteile gelten, wodurch ein Mindestwert festliegt. Wird diese Anforderung befolgt, geht nach Glg. (1) die außenseitige Temperatur zu maximal 30 % auf das stationäre Verhalten bzw. auf den zeitlichen Mittelwert der raumseitigen Oberflächentemperatur ein. Bei den heutigen Anforderungen an den U-Wert von Außenwänden wird der f_Rsi-Wert in der Größenordnung von 0,97 liegen. Dementsprechend verringert sich der Einfluss der Außentemperatur, wobei allerdings auch eine höhere Amplitude gegenüber der Innentemperatur zu bewerten ist.

Glg. (3) ist auch für Innenbauteile anwendbar, wenn anstelle der Außentemperatur die Nachbarraumtemperatur eingesetzt wird. Wird der Nachbarraum symmetrisch belastet und ist gleichartig wie der betrachtete Raum aufgebaut, ist in erster Näherung T_e(s) = T_i(s) zu setzen. Somit können auch sogenannte „adiabate Räume“ modelliert werden.

Für die beiden Übertragungsfunktionen G(s) soll eine Approximation durch ein Ersatzmodell erfolgen, welches möglichst einfache Gleichungen besitzt und die Bedingung in Glg. (4) erfüllt. Beim Verfahren mit der Summenzeitkonstante wird einfach jede Übertragungsfunktion durch ein Speicherglied 1. Ordnung ersetzt und für die Zeitkonstante die Summenzeitkonstante τ_Σ, eingetragen. Ein Speicherglied 1. Ordnung wird mathematisch durch eine Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten abgebildet. Für die Simulation ergeben sich daraus für jeden Zeitschritt k die einfachen Formeln

T_si,e,k  = A_0,e ⋅ T_e,k + b_1,e ⋅ T_si,e,k-1

T_si,i,k  = A_0,i ⋅ T_i,k + b_1,i ⋅ T_si,i,k-1⇥(5)

T_si,k  = T_si,e,k + T_si,i,k

T_si,e,k Teilreaktion der raumseitigen Oberflächentemperatur
auf die Aktion Außentemperatur

            bzw. Nachbarraumtemperatur zum Zeitschritt k in °C

T_si,i,k Teilreaktion der raumseitigen Oberflächentemperatur
auf die Aktion Innentemperatur zum Zeitschritt k in °C

T_si,k Gesamtreaktion der raumseitigen Oberflächentemperatur
auf die beiden Aktionen zum Zeitschritt k in °C

k lfd. Nummer des Zeitschritts, beginnend bei 1

Die Konstanten A und b errechnen sich aus dem f_Rsi-Wert und den beiden Summenzeitkonstanten τ_Σ sowie der gewählten Simulationszeitschrittweite Dτ.

b_1,act = e           ; a_0,act = 1 - b_1,act     ; A_0,e = (1 - f_Rsi) ⋅ a_0,e  ;

A_0,i = f_Rsi ⋅ a_0,i⇥(6)

τ_Σ,act Summenzeitkonstante für die Aktion act in h

Index act Aktion act = e (Außentemperatur) oder

act = i (Innentemperatur)

Δτ Simulationszeitschrittweite in h

b_1,act Gewichtsfaktor für zurückliegende Reaktion der
Aktion act in -

a_0,act normierter Gewichtsfaktor für aktuelle Aktion
act in –

A_0,e und A_0,i denormierte Gewichtsfaktoren der Aktionen e
bzw. i in –

Berechnung der Summenzeitkonstante

Die Summenzeitkonstante stellt die Summe aller Zeitkonstanten im System dar und kann für ebene Bauteile analytisch aus der sog. Kettenmatrix (VDI 6007-1 [5]) oder durch numerische Integration der normierten Übergangsfunktion errechnet werden (Fläche oberhalb der normierten Übergangsfunktion, Bild 1). Dadurch wird die insgesamt gespeicherte Wärme bei diesem Vorgang berücksichtigt.

Eine Übergangsfunktion h(t) erhält man aus einem höherwertigen Simulationsprogramm bzw. 2D- oder 3D instationären Wärmebrückenprogramm, wenn die Aktionsgröße (hier T_i oder T_e) zum Zeitpunkt t = 0 von 0 auf 1 gesetzt wird und dann konstant bleibt. Alle anderen Aktionsgrößen werden dabei zu Null gesetzt. Die Normierung ergibt sich aus dem Bezug auf den stationären Endwert bei t  ∞ und dem etwaigen „Durchgriff“ bei t = 0 (Reaktion ohne Zeitverzug bei speicherlosen Bauteilen).

h_n(t) = h(t)-h(0) ⇥(7)

            h(∞)-h(0) ⇥

h(t) Übergangsfunktion abhängig von der Zeit in °C

h(0) Anfangswert der Übergangsfunktion bei t = 0 (Durchgriff) in °C

h(∞) stationärer Endwert der Übergangsfunktion in °C

h_n(t) normierte Übergangsfunktion in -

t Zeit

Das SZK-Verfahren ist also wertetreu bezüglich dem stationären Verhalten und der Gesamtwärmespeicherung bei dynamischen Vorgängen. Es berücksichtigt auch eine außenseitige Aktion, die Einfluss auf die raumseitige Oberflächentemperatur nimmt.

Für die Berechnung der beiden Summenzeitkonstanten von ebenen Bauteilen kann das kostenlose Tool „SZKBauteile.zip“ [6] verwendet werden (Bild 2). Ein Beispiel für die Simulation ist in der Datei „AW08_Ytong-Außenwand mit Außendämmung.xlsx“ in [6] enthalten. Hierin findet sich auch der Vergleich mit dem Simulationsmodell Zustra (s.u.) und kann als Vorlage für eine Validierung mit weiteren Modellen verwendet werden. Die Schichtaufbaudaten der Bauteile in Tabelle 1 sind ebenfalls in [6] aufgeführt.

Beispiele für ebene Bauteile

In den folgenden Beispielen für ebene Bauteile wird das grundsätzliche dynamische Verhalten untersucht, welches sich durch Variation einiger Parameter, z.B. die Wirkung der Anordnung einer Wärmedämmung, ergibt. Die Beispiele sollen Hinweise auf die Größenordnung der Summenzeitkonstante geben und einen Vergleich des Ersatzmodells mit analytisch und numerisch ermittelten Ergebnissen vornehmen.

Übergangsfunktionen

Die auf den stationären Endwert normierte Übergangsfunktion kennzeichnet grafisch das dynamische Verhalten und ist in Bild 3 und 4 für eine Außenwand mit Innendämmung und für beide Aktionsgrößen dargestellt.

Die farbigen Linien sind gekennzeichnet durch

a) Rote durchgezogene Linie: Analytische Lösung im Laplace-Bereich durch Multiplikation der Kettenmatrizen und numerische Rücktransformation in den Zeitbereich

b) Blaue strichpunktierte Linie: berechnet mit Zustandsraummethode (Zustra, halbanalytisches Verfahren aus der Systemtheorie, wird auch für thermische Gebäudesimulationen eingesetzt)

c) Grau gestrichelte Linie: berechnet mit Verfahren der Summenzeitkonstante (SZK-Verfahren)

Man erkennt in Bild 3, dass erst nach ca. 60 h der stationäre Zustand erreicht wird. Das liegt weit über einer Tagesperiode. Die schnelle Antwort im Bild 4 stellt keinen Durchgriff dar. Sie resultiert daraus, dass durch die Innendämmung der Wärmespeicher praktisch abgeschnitten wird. Bei allen Beispielen lagen die Linien a) und b) übereinander, was die sehr gute Eignung der Zustandsraummethode auch für Validierungszwecke belegt. Im Fall von Bild 4 liegt a), b) und c) übereinander, was auch weitgehend für alle Leichtbauteile gilt.

Unterschiede in der Speicherwärme bzw. in den Zeitkonstanten für außen und innen sind auch bei einer schweren Außenwand mit Außendämmung und einer einschichtigen 200 mm dicken Betonmauer vorhanden (vgl. Bilder 5 und 6). Die Reaktion auf eine Innentemperaturänderung (blaue Kurven) ist dabei schneller, als auf eine Außentemperaturänderung (rote Kurven).

Aus dem Vergleich Bild 5 mit Bild 6 kann man den Einfluss der Außendämmung ablesen, welche sich massiv auf das Speicherverhalten der raumseitigen Oberflächentemperatur auswirkt. Die Außendämmung verringert bei der Aktion Ti den Abfluss nach außen, wodurch mehr Wärme gespeichert werden kann. Dagegen wird bei der Aktion Te das Eindringen in das Bauteil verzögert.

Das bedeutet für Verfahren, welche die Schichten auf der gegenüberliegenden Seite vernachlässigen (z.B. [2, Abschnitt C.2.4]), dass sie nicht für alle Bauteilaufbauten anwendbar sind.

Die Tabelle 1 enthält weitere Beispiele, aus denen man den Einfluss der Schichtaufbauten auf die Summenzeitkonstanten und auf die Stationärwerte entnehmen kann.

In Außen- und Innentemperatur lässt sich die absorbierte Sonnenstrahlung auf beiden Oberflächen einrechnen, wodurch fiktive Temperaturen für die Berechnung entstehen. Diese werden auch kombinierte oder äquivalente Temperaturen genannt. Je nachdem, ob ein Bauteil von außen verschattet wird oder ob die in den Raum transmittierte Sonnenstrahlung hoch oder gering ist, wirkt sich diese unterschiedlich stark auf die fiktiven Temperaturen aus. Das ist ein grundsätzliches Problem in der DIN EN ISO 13786, wo es darum geht, ob ein Bauteil als schwer oder leicht einzustufen ist. Die Berechnung der Wärmekapazität in dieser Norm geht nur von Schwankungen der Innentemperatur aus. D.h., das Bauteil von außen betrachtet kann eine ganz andere Wärmespeichereigenschaft bezüglich T_si aufweisen (Tabelle 1).

Sinusverlauf

Eine weitere Möglichkeit zur Validierung des Verfahrens ist der Vergleich mit einem Sinusverlauf für Außen- und Innentemperatur. Periodische Vorgänge kann man mit den Kettenmatrizen im eindimensionalen Fall analytisch simulieren. Zusätzlich kommt hier die o.g. Zustandsraummethode (Zustra) in den Bildern 7 und 8 zum Einsatz, um auch dieses Verfahren für die nachfolgende Jahressimulation zu überprüfen. Die durchgezogenen Linien stellen die analytischen Lösungen für periodische Schwingungen dar. Die Quadrat-Symbole der Zustandsraummethode schmiegen sich dem analytischen Verlauf an. Der Tsi-SZK-Verlauf zeigt eine größere Abweichung vom analytischen Ergebnis, vor allem bei der Aktion Innentemperatur, die allerdings eine sehr große Amplitude aufweist.

Simulation

Im Folgenden werden beispielhaft Ergebnisse einer Simulation mit vorgegebenen Außen- und Innentemperaturen dargestellt. Für die Außentemperaturen kommen zwei Variationen zur Anwendung. Eine extrem kalte Winterperiode und ein Jahr mit hohen Außentemperaturen. Die Innentemperaturen in der Jahressimulation werden aus der raumseitigen Randbedingung der DIN 4108-3 [7, Bild D.1] (Bild 9) gebildet. Innentemperaturen in der Heizzeit werden dadurch automatisch auf konstante 20 °C gesetzt.

In den ersten Tagen der kalten Periode in Bild 10 wirkt noch der Startwert, der auf 0 °C gesetzt wurde. Bei dieser Anlaufrechnung ist ein Vergleich mit den numerisch ermittelten Werten aus der Zustandsraummethode (Tsi-Zustra) erst nach 3-4 Tagen sinnvoll. Der Kurvenvergleich zwischen Tsi-Zustra und Tsi-SZK zeigt, dass das SZK-Verfahren etwas zu schnell auf die Aktion Außentemperatur reagiert, was man als Phasenfehler bezeichnet. Diese Erscheinung wurde auch in anderen Beispielen beobachtet, sobald die Summenzeitkonstante t_S,e einen hohen Wert annimmt. Trotzdem weisen die Abweichungen nur Werte unter 0,1 K auf.

Bild 11 zeigt einen Ausschnitt der Ergebnisse einer Jahressimulation im Bereich 08.06. bis 13.06. In diesem Zeitraum verändert sich auch die Innentemperatur gem. DIN 4108-3 (rot strichpunktierte Linie) mit dem exponentiell gewichteten gleitenden Tagesmittelwert der Außenlufttemperaturen nach DIN EN 15251 [8]. Auch hier zeigt sich ein Phasenfehler, der aber zu sehr geringen Abweichungen führt. Die betragsmäßig maximale Abweichung liegt im ganzen Jahr bei 0,22 K.

Tabelle 2 gibt einen Überblick über die Abweichungen des SZK-Verfahrens von der Zustandsraummethode für die Bauteile aus Tabelle 1. Nur die beiden Bauteile AW01 und AW07 mit den hohen U-Werten weisen eine Standardabweichung größer gleich 0,2 K auf. Alle anderen Bauteile passen sich hervorragend mit einer minimalen Abweichung von -0,22 K bei AW08 an. Die mittlere Abweichung ist aufgrund der o.g. Wertetreue in allen Fällen 0,00 K.

Ausblick

Das SZK-Verfahren für einzelne Bauteile lässt sich auf ein Raummodell bestehend aus ebenen Bauteilen erweitern, wenn man die Innentemperatur durch eine thermische Umgebungstemperatur ersetzt. Hierüber wird in einem weiteren Beitrag berichtet. Die thermische Umgebungstemperatur sorgt für die getrennte Berechnung der Konvektion mit Lufttemperatur und des langwelligen Strahlungsaustausches der Raumflächen untereinander mit den raumseitigen Oberflächentemperaturen.

Denkbar ist aber auch, auf die getrennte Strahlungs- und Luftankopplung zu verzichten und weiterhin mit der Innentemperatur unter Einschluss der kurzwelligen Strahlungsabsorption wie oben angegeben zu rechnen. Die Heizlastberechnung nach DIN/TS 12831-1 [9] folgt diesem Ansatz, jedoch ohne kurzwellige Strahlungsabsorption. Begründung hierfür könnte sein, dass durch eine Möblierung des Raumes der Strahlungsaustausch zwischen den raumseitigen Bauteiloberflächen behindert wird und somit nicht in der Planung erfassbar ist. Ob ein solch vereinfachtes Raummodell ausreichend ist, müssten Vergleichsrechnungen mit Simulationsprogrammen beantworten.

Die Weiterentwicklung des SZK-Verfahrens zu einem Raummodell würde auch dem Nachteil des 2K-Modells der VDI 6007-1 begegnen, dass nur adiabate Räume berechnet werden können. In einem Raummodell nach dem SZK-Verfahren kann nicht nur für jedes einzelne Bauteil eine außenseitige Temperatur angegeben werden, es kann auch ein zusammenhängender Bereich mit mehreren Räumen in einem Rechenschritt innerhalb eines Zeitschrittes gelöst werden.

Gibt man eine Innentemperatur vor, benötigt man kein Raummodell und es kann ein einzelnes Bauteil bzw. Wärmebrücke dynamisch untersucht werden. Als Anwendung hierfür ist z.B. die Berechnung der erforderlichen Lüftung zur Schimmelpilzvermeidung an erdreichberührten Bauteilen denkbar (Kellerlüftung). Mit der Kenntnis der raumseitigen Oberflächentemperatur zu jedem Zeitschritt, kann der kritische Feuchtegehalt nach DIN/TS 4108-8 [10, Anhang H] berechnet werden. Dieser ist die Voraussetzung für die Ermittlung des erforderlichen Volumenstroms.

Fazit

Im SZK-Verfahren wird mit nur drei Eingabewerten das dynamische Verhalten eines Bauteils simuliert. Die Beispiele haben gezeigt, dass eine sehr gute Näherung für die raumseitige Oberflächentemperatur von ebenen Bauteilen möglich ist.

Aufgrund der Betrachtung des gesamten Speichervorganges (Bild 1) ist das Verfahren für einen größeren Frequenzbereich geeignet. D.h., das SZK-Verfahren entfaltet seine gute Anpassung besonders bei längeren Zeiträumen mit stark veränderlichen Außenklimadaten, wie z.B. der Simulation mit TRY-Daten.

Die bisherigen Validierungsnormen geben aber meist nur eine kurze Periode mit sinusförmigem Verlauf vor. Deshalb müssen erst neue Validierungsvorgaben entwickelt werden, um das SZK-Verfahren zu etablieren. Diese Vorgaben sollten zunächst die Validierung einzelner Bauteile beinhalten, bevor ganze Räume validiert werden. Damit wird das Kernstück der Simulation, nämlich die Lösung der Wärmeleitungsgleichung, sachgemäß durch Beschränkung der Anzahl der Aktionsgrößen überprüft.

Die Beispiele zeigen auch, dass eine Außendämmung die Wärmespeicherfähigkeit für raumseitige Temperaturschwankungen erhöhen kann. Somit kann die Auswirkung auf den Raum bezüglich des sommerlichen Wärmeschutzes im Prinzip nicht nur anhand der raumseitigen Bauteilschichten beurteilt werden. Für ein solches Verfahren müssten Einschränkungen in der Anwendung definiert werden.

In der Baupraxis kommt es vor, dass die Schichtaufbauten in einem frühen Planungsstadium noch nicht bekannt sind. Nur die U-Werte der Außenbauteile kann man dem GEG-Nachweis entnehmen. Dabei ist es beim SZK-Verfahren sicherlich zweckdienlich, wenn man bei Vorabberechnungen für die Außenbauteile nur zwei und für die Innenbauteile nur drei Eingabewerte schätzen muss, anstatt sich komplette Schichtaufbauten auszudenken. Da man mit diesen Werten und einem Raummodell schon simulieren kann, könnte die Einschätzung der Bauartschwere ganzer Räume (s. VDI 2078 [11, Abschn. 5.5] und DIN 4108-2 [1, Abschn. 8.3.3]) entfallen. Die Erfahrung hat gezeigt, dass bei dieser Art der Einschätzung Räume problematisch sind, bei denen die Bauteile unterschiedliche Wärmespeichereigenschaften aufweisen.

Literatur

[1] DIN 4108-2:2013-02: Wärmeschutz und Energie-Einsparung in Gebäuden - Teil 2: Mindestanforderungen an den Wärmeschutz. Beuth-Verlag. [2] DIN EN ISO 13786:2018-04: Wärmetechnisches Verhalten von Bauteilen - Dynamisch-thermische Kenngrößen - Berechnungsverfahren. Beuth-Verlag. [3] Nadler, N.: C.A.T.S.-Kühllastberechnung. Validierung des Raummodells anhand der neuen VDI 6007-1. tab 12/2012, S. 42-50. Bauverlag BV GmbH. [4] DIN EN ISO 10211:2018-03: Wärmebrücken im Hochbau - Wärmeströme und Oberflächentemperaturen - Detaillierte Berechnungen. Beuth-Verlag. [5] VDI 6007-1:2015-06. Berechnung des instationären thermischen Verhaltens von Räumen und Gebäuden. Raummodell. [6] SZKBauteile.zip auf www.cse-nadler.de [7] DIN 4108-3:2018-10: Wärmeschutz und Energie-Einsparung in Gebäuden - Teil 3: Klimabedingter Feuchteschutz - Anforderungen, Berechnungsverfahren und Hinweise für Planung und Ausführung. Beuth-Verlag. [8] DIN EN 15251:2012-12: Eingangsparameter für das Raumklima zur Auslegung und Bewertung der Energieeffizienz von Gebäuden - Raumluftqualität, Temperatur, Licht und Akustik. Beuth-Verlag. [9] DIN/TS 12831-1:2020-04: Verfahren zur Berechnung der Raumheizlast – Teil 1: Nationale Ergänzungen zur DIN EN 12831-1. Beuth-Verlag. [10] DIN/TS 4108-8:2021-??: Wärmeschutz und Energie-Einsparung in Gebäuden — Teil 8: Vermeidung von Schimmelwachstum in Wohngebäuden. Beuth-Verlag. [11] VDI 2078:1996-07: Berechnung der Kühllast klimatisierter Räume (VDI-Kühllastregeln). Beuth-Verlag.